^^Algebra su un campo.
- Algebra (su un campo)
- e' uno spazio vettoriale in cui i vt sono dotati di un prodotto bilineare.
- Algebra associativa
- il prodotto e' associativo genera un anello, ma
poi la terminologia non e' univoca, come per gli anelli, poiche' c'e' chi
considera con o senza unita'.
- Algebra non associativa il prodotto non e'
associativo
- Algebra unitaria, unital, unitary
- esiste l'unita' della moltiplicazione dell'algebra
Algebra e' fatta da 4 parti (V, K, *:KxV→V, *:VxV→V)
- vettori: V un gruppo commutativo (in nomenclatura additiva)
- scalari: K un campo
- prodotto KxV→V di uno scalare per un vt e' un vt, detto prodotto
esterno (per distinguerlo dal prodotto del campo).
- prodotto vettoriale VxV→V di un vt per un vt e' un vt
4 proprietà del prodotto esterno, per farlo spazio vt
- a(u+v) = au+av distributiva sui vt
- (a+b)v = av+bv distributiva sugli
scalari
- (ab)v = a(bv) compatibilita' tra prodotto
esterno e del campo
- 1v=v l'unita' del campo, lo e' anche per il prodotto esterno
il prodotto vettoriale dell'algebra e' bi-lineare
- u(v+w) = uv+uw additivo sx
|
- u(kv) = k(uv) omogeneo
sx | lineare sx
- (u+v)w = uw+vw additivo dx |
- (ku)v = k(uv) omogeneo
dx | lineare dx
Proprieta'-Teoremi di un'algebra
- 0*x=0 ∀x zero per qualsiasi elemento fa zero; quindi
0*x=a≠0 equazione senza soluzioni. Nel contesto della
Divisione si puo' interpretare: "la
divisione con zero non e' definita"
Non confondere
- prodotto bilineare dell'algebra
- con forma bilineare di uno spazio vettoriale (es prodotto scalare)
1 e' nello spazio dei fattori
2 e' nel campo dei coefficienti
Teo: prodotto dell'algebra rappresentato con una base, con le coordinate
- i prodotti tra tutte le coppie ordinate di elementi di una base
dell'algebra determina tutti i prodotti
dim: 1) calc prodotto di 2 elementi qualsiasi x y, idea:
2) scriviamoli come comb lin di una base: x= ∑xiei y= ∑yiei
3) calc prodotto
xy= (∑xiei )(∑yiei) = ∑ij xiyjeiej
e' una comb lin dei prodotti di tutte le coppie dei vt base.
nm: xiyj coefficienti della struttura
Viceversa
scelti a piacere i prodotti delle coppie di elementi di una base scelta a
piacere, si puo' estendere il prodotto a tutti gli elementi dell'algebra in un
unico modo rispettando le regole dell'algebra, e il risultato e' un'algebra
(poiche' il prodotto cosi' definito rispetta le regole dell'algebra).
Links
- Algebra.
- wp/Algebra_over_a_field
- wp/Bilinear_map
Algebra con divisione. Division algebra.
wp
algebra con divisione
an algebra over a field in which division is always
possible (except by zero).
Esempi esenti dalle diverse terminologie
- Se il prodotto dell'algebra genera un corpo, e' un'algebra associativa
con divisione
- Numeri reali, complessi, quaternioni,
ottonioni.