^^Spazio vettoriale (su un campo). Modulo (su un anello).
Spazio vettoriale (su un campo) e' fatto da 3 parti (V, K, *:KxV→V)
- vettori: V un gruppo commutativo (in nomenclatura additiva)
- scalari: K un campo
- prodotto KxV→V di uno scalare per un vt e' un vt, detto prodotto
esterno (per distinguerlo dal prodotto del campo).
4 proprietā del prodotto esterno
- a(u+v) = au+av distributiva sui vt
- (a+b)v = av+bv distributiva sugli
scalari
- (ab)v = a(bv) compatibilita' tra prodotto
esterno e del campo
- 1v=v l'unita' del campo, lo e' anche per il prodotto esterno
Spazio vettoriale sinistro su un corpo gli stessi assiomi,
solo che K e' un corpo.
Spazio vettoriale destro su un corpo
v(ab) = (va)b cioe' usando moltiplicazione a sx (ab)v
= b(av)
Modulo |
su un |
anello generalizza |
spazio vettoriale |
su un |
campo |
la differenza e' che K, invece di essere un corpo, puo' essere piu'
debolmente un anello dotato di 1.
Although similarly defined, the theory of modules is much more complicated
than that of vector space, mainly, because, unlike vector spaces, modules are
not characterized (up to an isomorphism) by a single invariant (the dimension of
a vector space). In particular, not all modules have a basis.
Teo: il prodotto cartesiano X1xX2x...xXn di
n spazi vettoriali sullo stesso campo e' uno spazio vettoriale sullo stesso
campo
somma di vettori e prodotto esterno definiti da
- (x1,x2,...,xn) + (y1,y2,...,yn)
= (x1+y1, x2+y2, ..., xn+yn)
- k(x1,x2,...,xn) = (kx1,kx2,...,kxn)
Corollario: La potenza cartesiana Vn di uno spazio vettoriale V
e' uno spazio vettoriale.
Teo: un campo K "e' spazio vt su K"
somma di vettori e prodotto esterno definiti da
- somma e prodotto del campo.
Corollario: Kⁿ e' spazio vettoriale su K
la potenza cartesiana di un campo e' il prototipo di spazio vettoriale.
es: ℚⁿ ℝⁿ ℂⁿ
Spazi vettoriali isomorfi (sullo stesso campo)
isomorfismo tra 2 spazi vettoriali sullo stesso campo (V,K) e (W,K)
e' un'applicazione biunivoca f:V→W, tale che
u+v |
↔ |
f(u)+f(v) |
cioe' |
f(u+v) |
= |
f(u)+f(v) |
mu |
↔ |
mf(u) |
|
f(mu) |
= |
mf(u) |
equi: e' un'applicazione lineare biunivoca.
ref: Isomorfismo.
Kv := {kv∈V: k∈K } tutti i multipli di un vt
- Teo: v∈Kv dim: 1v=v
- K e Kv sono spazi vettoriali isomorfi (x≠0) dim: 2&3&4
Dirlo
- i multipli di un vt
- tutti i multipli di un vt
- l'insieme dei multipli di un vt
oss:
-
abu e' univoco
cmq si rende operativo: (ab)u o a(bu) il risultato e'
=.
- 1&2 le distributive ≡ il prodotto esterno e' bi-additivo
Links
Campo algebrico. Corpo algebrico.
Le proprieta' del prodotto esterno
viste come proprieta' delle funzioni sezione
fsez1. k→kv fv:K→Kv moltiplicaz di ogni
scalare per un fissato vt
- e' un isomorfismo dello spazio vettoriale K col range Kv
- e' una funzione lineare
- v∈Ku ⇒ Kv=Ku
Dirlo
- campo visto come spazio vettoriale
- spazio vettoriale K
fsez2. v→kv fk:V→V moltiplicazione di un fissato scalare per ogni vt
- e' un isomorfismo
dello spazio vettoriale
- k-1:V→V v→k-1v č l'isomorfismo
inverso
dirlo: v→kv fk:V→V
- moltiplicazione di uno scalare fissato per ogni vt
- moltiplicazione per uno scalare (dei vettori)
- moltiplicazione di ogni vettore per lo stesso scalare
dim sez1
dim1:
(k+h)u = ku+hu additiva
(mk)u = m(ku) omogenea
dim2: u:K→V k→ku
kv=k(hu) = (kh)u ∈Ku
dim sez2
dim: k:V→V v→kv e' una funzione lineare
a(u+v) = au+av additiva
a(mu) = (am)u = (ma)u =m(au) omogenea
oss: e' necessaria la commutativita' della moltiplicazione del campo.
a-1:V→V x→a-1x
e' la funzione inversa della precedente;
sono anche una l'inversa dell'altra,
quindi sono un isomorfismo
dim: x→ax→a-1(ax) = (a-1a)x = 1x = x
Teo: dei segni (o degli opposti)
(-a)u = -(au)
a(-u) = -(au)
Teo: dello zero. Annullamento del prodotto esterno
- 0u = 0 moltiplicare per 0 scalare, da' vt
nullo
- k0 = 0 moltiplicare uno scalare per il vt nullo, dā
vt nullo
- kx = 0 k=0 o x=0, equi
kx ≠ 0 k≠0 e
x≠0
dim1:
u:K→V k→ku č additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno
zero 0→0u=0
dim2:
a:V→V x→ax č additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero
0→a0=0.
dim3a: ku=0 e k≠0 ⇒ u=0
ku=0 moltiplico entrambi i membri per k-1 che esiste
poiche' k≠0
k-1(ku)=k-10
(k-1k)u=0
1u=0 u=0
dim3b: ku=0 e u≠0
per il momento non so dimostrarlo
Approfond
notazione fk:V→V v→kv VS k:V→V
v→kv
la piu' sintentica rischia di essere confusionaria.
ecz
il prodotto cartesiano XxY di 2 spazi vettoriali (sullo stesso campo) e' uno
spazio vettoriale (sullo stesso campo)
- (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
- k(x,y) = (kx,ky)
Meglio usare la notazione XxY ≡ X1xX2
- (x1,x2) + (y1,y2) = (x1+y1,
x2+y2)
- k(x1,x2) = (kx1,kx2)
ecz Teo Kⁿ e' spazio vettoriale su K
la potenza cartesiano di un campo e' l'esempio prototipico di spazio
vettoriale.
- (k₁,k₂,...,kₙ) + (h₁,h₂,...,hₙ) = (k₁+h₁, k₂+h₂, ..., kₙ+hₙ)
- k(k₁,k₂,...,kₙ) = (kk₁, kk₂, ..., kkₙ)
c: ho preferito ottenere questo risultato come corollario, invece che una dim
diretta.
Pero' puo' essere piu' chiaro dimostrare questo che il caso per il singolo K.
Talk
Titolo
- Spazio lineare
vettoriale.
c: 3-12-2021. E' il titolo che ritrovo, che aveva lo scopo di ricordare i 2
aspetti: vettori e equazioni lineari, ma messo cosi' fa confusione per il
neofita, e allunga per chi sa gia'. Scelgo di contrarre
Devo dire pero' che in passato avevo adottato il titolo
quando mi ero reso conto dell'importanza che avevano avuto i sistemi di
equazioni lineari e le associate trasformazioni lineari nella genesi della
struttura astratta.
Spazio vettoriale e' una terna (V, K, *:KxV→V)
- V vettori, gruppo commutativo
- K scalari, campo
- *:KxV→V prodotto esterno di uno scalare per un vt e' un vt
Kⁿ e' spazio vettoriale su K
la potenza cartesiano di un campo e' l'esempio prototipico di spazio
vettoriale.
- (k₁,k₂,...,kₙ) + (h₁,h₂,...,hₙ) = (k₁+h₁, k₂+h₂, ..., kₙ+hₙ)
- k(k₁,k₂,...,kₙ) = (kk₁, kk₂, ..., kkₙ)
c: ho preferito ottenere questo risultato come corollario, invece che una dim
diretta.
Formato
X₁xX₂x...xXₙ VS X1xX2x...xXn
Formato
il prodotto cartesiano XxY di 2 spazi vettoriali (sullo stesso campo) e' uno
spazio vettoriale (sullo stesso campo)
- (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
- k(x,y) = (kx,ky)
Modulo su un anello generalizza "spazio vettoriale su un campo"