^^d(xy)= ydx + xdy   differenziale del prodotto.

Teo: ∆(xy) = y∆x + x∆y + ∆x∆y    differenziale finito
        d(xy) = ydx + xdy                 differenziale infinitesimo

dim1: Rem:

Scriviamo il valore variato di x come x+∆x.

Scrivo la differenza tra:

(x+∆x)(y+∆y)  prodotto dei valori variati, ed il valore iniziale xy

= (x+∆x)(y+∆y) - xy

=  xy + x∆y +(∆x)y + ∆x∆y  - xy

= x(∆y) +(∆x)y + ∆x∆y

per scrivere senza ambiguita' (∆x)y senza le parentesi non posso scrivere ∆xy, o si potrebbe applicando la regola di priorita' dell'operatore unario ∆, cmq l'usanza e' scrivere (∆x)y come  y∆x.

vo:

"differenziale del prodotto" e' la locuzione usuale

= "variazione del prodotto"

per ricordarci che e' una variazione, cosa che mi fa ricordare che e' usuale considerare la variazione relativa, ed in primis l'errore relativo.

Interpretazione grafica del differenziale del prodotto.

Rappresentazione rettangolare della proprieta' distributiva.

Teo: d(xy)= ydx + xdy

dim: il modo piu' semplice per intuirlo, anche se non e' la definizione generale, e' di considerare dx=dy, che possiamo chiama dr. Il caso generale si puo' trattare con dr=radq(dx²+dy²).

(∆x∆y)/∆x e' lo scarto % rispetto a ∆x, e tende a 0 per ∆r → 0.

Stile di scrittura

L'espressione che fornisce il differenziale e' ordinata rispetto ai differenziali delle variabili indipendenti, che vengono messi in evidenza come fattori a destra.

L'usanza dice che questo e' lo stile comodo.

Lg:

differenziale del prodotto

= differenziale della variabile data dal prodotto di 2 altre variabili.

Esempi

L'allungamento assottiglia l'elastico. Effetto Poisson.

Links

Velocita' di una variabile composta.

Espo tenendo fisso l'ordine delle variabili

Differenziale del prodotto d(x*y)= dx*y + x*dy.

Guida ins

Titolo

1. Differenziale del prodotto d(xy)= ydx + xdy.
   c: originale
2. d(xy)= ydx + xdy   differenziale del prodotto

Alter espo: * esplicito

Teo: ∆(x*y) = y*∆x + x*∆y + ∆x*∆y
        d(x**y)= y*dx + x*dy

dim:

∆(x*y)=

= (x+∆x)*(y+∆y) - x*y

=  x*y + x*∆y +∆x*y + ∆x*∆y  - x*y

= x*∆y +∆x*y + ∆x*∆y