^^Proporzione a 4 termini; forma astratta.

Forma aritmetica Forma algebrica
A:B = C:D

A sta a B come C sta a D
A C
 = 
B D

A fratto B e' uguale a C fratto D

 

Forma
Aritmetica       Algebrica        Astratta
A:B = C:D

 
A C
 = 
B D

(A;B;C;D)

 

i termini scritti
come 4-pla

I 2 punti ":" sono segno di divisione o semplicemente di separazione?

Cioe' a:b=b:d  equivale a (A;B;C;D) ?

Se i 2 punti ":" nella scrittura a:b=b:d non vengono intesi come segno di divisione, allora si puo' altrettanto scrivere

Forma astratta Forma algebrica Forma algebrica
A:B = C:D

(A;B;C;D)

 

A sta a B come C sta a D
A C
 = 
B D

A fratto B

= C fratto D

B D
 = 
A C

A fratto B

= C fratto D

Terminologia

A : B = C : D      A, B, C, D termini della proporzione.
A           D Estremi, o termini estremi
    B   C     Medi, o termini medi

I termini della proporzione sono 4.
La denominazione "medi, estremi" e' dovuta alla posizione dei termini nella forma aritmetica.

lg: Quando la proporzione e' scritta nella forma algebrica con le lettere scritte in colonna, allora le denominazioni dei termini "medi, estremi" perdono il loro significato originale, poiche' non sono piu' quelle le posizioni occupate.
lg: guardando solo alla forma verrebbe da chiamare: "proporzione scritta in riga" e "proporzione scritta in colonna".

In modo ancora piu' astratto si potrebbe scrivere: (A;B;C;D).

Forma tabella

A:B=C:D  
   A       B   
   C    D

Ricerca del 4° proporzionale.

A:B=C:X    
   A       B   
   C    X

X= ??? qual e' il 4° termine ???

Lg: ricerca del  4° termine proporzionale.

Proprieta' definitoria della proporzione

- a parole: il prodotto dei medi e' uguale al prodotto degli estremi.
- in formule: A*D=B*C.

Quando succede cio' si ha una quaterna di numeri proporzionali.

es: 2:3 = 10:15   poiche':  3*10=2*15

Forma astratta

Poiche':
- non si sa cosa siano A B C D nella realtà', cioe' non sono associati a qualcosa di reale, bensi' sono enti astratti, ad esempio numeri o segmenti
- la denominazione non riflette la struttura del sistema sotto osservazione, poiche' non c'e'.
E' il modo in cui spesso i matematici scrivono la proporzionalita' a 4 termini.
d: come mai la scrivono in modo cosi' astratto? r: dipende dalLA PROSPETTIVA DEI MATEMATICI.

Forma aritmetica

Poiche':
- e' espressa nel linguaggio dell'aritmetica
- e' coi ":" (2 punti, che e' anche un diviso).

Forma algebrica

Poiche':
- e' espressa nel linguaggio dell'algebra
- e' espressa sotto forma di rapporti, piu' precisamente come uguaglianza di 2 rapporti.

Confronto tra la forma aritmetica e algebrica

d: come mai ci sono diverse forme? r: Il linguaggio matematico; i linguaggi della matematica; sottolinguaggi.
d: come mai si usa la forma algebrica dato che si conosce gia' quella aritmetica?
r: questa domanda e' legata a una domanda piu' ampia che e':
d: come mai si usa l'algebra per fare i calcoli se gia' i calcoli li sappiamo fare con l'aritmetica? r: Algebra; perche' usarla?
La frazione si puo' scrivere il piu' modi: forme della frazione. Frazioni; forme della frazione

Vediamo nel caso della proporzione quali sono i

Vantaggi nell'uso della forma algebrica.

Nella forma algebrica, la proprieta' definitoria della proporzione in forma aritmetica non e' necessario impararla a memoria, bensi' si puo' RICAVARE coi PASSAGGI ALGEBRICI (cioe' con la conoscenza del CALCOLO ALGEBRICO)