^^Equazione dei punti coniugati degli specchi.

Punto sorgente ® punto immagine: al punto-sorgente corrisponde 1 punto-immagine.

In coordinate cartesiane:

(x;y) ® (x';y')   al punto-sorgente (x;y) corrisponde 1 punto-immagine (x';y').

Eq punti coniugati
1 1 1  
+
=
     f=R/2
p q f  
pq       pf   qf
=f      q=
     p=
p+q       p-f   q-f
f presa come unità di misura
pq       p   q
=1      q=
     p=
p+q       p-1   q-1
    
Ingrandimento dell'immagine.
  y' x' f x'-f
G=
 = -
 = -
 = -
  y x x-f f

(x';y')= (-xG;yG)
G-1  
x= f
      x'=f(1-G)
G  
G 1
f= x
      f= x'
G-1 1-G

Ci sono piu' notazioni: x ® x', p ® q, o ® i.

 

x' dipende solo dal valore di x, invece y' dipende, oltre che da y, anche da x.

Caso in cui: x varia in (1;+¥); immagine reale. In unita' di f.

In generale x varia in (0;+¥), pero' per convenienza di apprendimento prendiamo confidenza col caso (che ci fara' da pilastro di apprendimento).

  fuo
co		 Interno al centro, esterno al fuoco cen
tro		 esterno al centro
x 1+ ... 10/9 9/8 8/7 7/6 6/5 5/4 4/3 3/2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... +¥
x' +¥ ... 10 9 8 7 6 5 4 3 2 3/2 4/3 5/4 6/5 7/6 8/7 9/8 10/9 ... 1+
G -¥ ... -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1/2 -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 -1/8 -1/9 ... 1+

Per studiare-esplorare la corrispondenza, ci sono 2 approcci: variare da +¥ a 1, oppure da 1 a +¥; in simboli: +¥ ¯ 1, oppure  1 ↑ +¥.  +¥ ¯ 1.  Associato a:  focalizzazione dei raggi paralleli all'asse ottico nel fuoco, es: raggi del sole che arrivano da lontano allo specchio e vengono riflessi vicino. 1 ↑ +¥.  Associato a: fari di auto coi raggi che arrivano allo specchio da vicino e vengono riflessi lontano.

x x' G  
0 ↑ f 0 ¯ -¥ 1 ↑ +¥ sorgente interna al fuoco, immagine virtuale
f ↑ +¥ +¥ ¯ f -¥ ↑ 0 sorgente esterna al fuoco, immagine reale
2f 2f -1 posizione di sorgente e immagine coincidenti
f ↑ 2f +¥ ¯ 2f -¥ ↑ -1 sorgente interna al centro, immagine ingrandita
2f ↑ +¥ 2f ¯ f -1 ↑ 0 sorgente esterna al centro, immagine rimpicciolita

Problemi-applicazioni dell'eq dei punti coniugati.

  xf
x'=
  x-f

Data la posizione x della sorgente, calcolare la posizione x' dell'immagine
  x'f
x=
  x'-f

Viceversa: data la posizione x' dell'immagine, calc posizione della sorgente
xx'  
=f
x+x'  

Data una coppia di punti coniugati, ricavare il fuoco.

In totale: Data la geometria (il fuoco), da una posizione x, determinare l'altra.

Attenzione se nel problema si parla del raggio e non del fuoco: f=R/2.

Problemi-applicazioni dell'eq dell'ingrandimento dell'immagine.

L'ingrandimento e' determinato da una posizione x. Posizione in funzione ingrandimento Fuoco in funzione dell'ingrandimento
  y'   x'   f   x'-f
G= 
 = -
 = -
 = -
  y   x   x-f   f
G-1  
x= f
       x'=f(1-G)
G  
G 1
f= x
      f= x'
G-1 1-G

Problemi-applicazioni miste in x e y, eq dei punti coniugati e eq dell'ingrandimento dell'immagine

Conviene calcolare sempre,anche se non esplicitamente richiesto, l'ingrandimento.

Domande e problemi standard

Dato l'oggetto, calcolare l'immagine.

Data posizione e altezza dell'oggetto, calc posizione e altezza dell'immagine, data la geometria.

  pf   q  
q=
    y'=y(-
)
  p-f   p  

Intervallo (0;1) per sorgente x, immagine virtuale x' in (-¥;0). In unita' di f. Casi particolari.

x 0+ ... 1/10 1/9 1/8 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/10 ... 1- 1+
x' 0- ... -1/9 -1/8 -1/7 -1/6 -1/5 -1/4 -1/3 -1/2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ... -¥ +¥
G 1+ ... 10/9 9/8 8/7 7/6 6/5 5/4 4/3 3/2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... +¥ -¥

Sintetica

x -¥ ... -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 ... 1- 1+
x' 1- ... 8/9 7/8 6/7 5/6 4/5 3/4 2/3 1/2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 ... -¥ +¥
G 0+ ... 1/9 1/8 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 2 3 4 5 6 7 8 9 ... +¥ -¥

Convenzioni di segno per l'equazione dei punti coniugati

Segno d coordinata positivo-reale negativo-virtuale
  fuoco positivo-concavo negativo-convesso

Virtuale = si incontrano i prolungamenti dei raggi.

Il sistema di riferimento

Il vertice dello specchio e' l'origine. L'asse cartesiano coincide con l'asse ottico.

p q   coordinate dei punti coniugati, e siccome il vertice dello specchio e' nell'origine, sono anche la distanza dallo specchio

In astratto

E' una funzione che a ogni punto del piano associa un punto del piano, la sua immagine. Oltre la trasformazione x c'e' anche la trasformazione y, che e' legata alla x dall'equazione di ingrandimento dell'immagine.

Esprimiamo con la notazione x ® x' invece di p ® q

  xf   -yf       f   -f           y'   -f
(x;y) ® (x';y') = ( 
 ; 
 )   =    ( x 
 ; y 
 )    =    (-xG;yG)       posto    G= 
 = 
  x-f   x-f       x-f   x-f           y   x-f

L'ingrandimento della y e' anche "ingrandimento" della x

  y'   x'   f   x'-f
G= 
 = -
 = -
 = -
  y   x   x-f   f

 

1 1 1
+
=
x x f
Teo: C'e' un unico punto in cui oggetto e immagine si trovano sullo stesso punto, detto in formula p=q, ed e' 2f.

Notazioni all'¥

p q Ingrandimento  
® +¥   f+ ® 0  
+¥   f+ 0 per brevita' e semplicita' di pensiero,

adotto questo modo di esprimere-pensare
® +¥   ® f+ ® 0 forse per precisione si dovrebbe scrivere ® f+

Notazione di crescita e decrescita

Parole Frecce
da +¥ a 0 +¥ ¯ 0
da 0 a +¥ 0 ↑ +¥

La forma simmetrica dell'eq dei punti coniugati, e le altre forme

1 1 1   pq       pf   qf
+
=
    
=f       q=
     p=
p q f   p+q       p-f   q-f

Notazione x ® x' invece di p ® q

1 1 1   xx'       xf   x'f
+
=
    
=f      x'=
     x=
x x' f   x+x'       x-f   x'-f

La forma simmetrica e' bella da vedere ed e' comoda come passaggio intermedio per ricavare le altre 3 forme.

Diario:

poiche' un punto iniziale del mio ricordare-comprendere-spiegare e' la focalizzazione dei raggi paralleli all'asse ottico nel fuoco, da tale situazione mi muovo, e quindi mi ero inizialmente mentalizzato  +¥ ¯ 0. Pero' poi mi rendo conto che il modo standard di organizzare e' in forma crescente, quindi forse per ricordare-riorganizzare, conviene. L'esempio pratico sono invece dei raggi del sole che arrivano da lontano allo specchio e vengono riflessi vicino, l'esempio dei fari di auto coi raggi che arrivano allo specchio da vicino e vengono riflessi lontano.

 

Links

  1. Scambio di posizione tra sorgente e immagine; l'equazione dei punti coniugati e' simmetrica.
  2. Fuoco, sorgente, immagine, punti coniugati, ingrandimento.

  3. inet

  4. hyperphysics/geoopt/conjug
  5. olemiss/Optics_lab

 

Alter espo

p q Ingrandimento
+¥   f 0
+¥ ¯ 2f f ­ 2f 0 ¯ -1
2f 2f -1
2f ¯ f 2f ­ +¥ ¯ -¥
    si svolge la simmetria
f ¯ (1/2)f  -¥ ­ -f ® +¥
(1/2)f -f 2
(2/3)f -2f 3

 

Posizioni particolari

p q Commento
® +¥   f  
2f 2f p=q
f+ ® +¥  
f- ® -¥  
(1/2)f -f  
(2/3)f -2f  

 

sorgente
p		   immagine

q

  
+¥   1+ f
5 f 5/4 f
4 f 4/3 f
3 f 3/2 f
2 f 2 f
3/2 f 3 f
4/3 f 4 f
5/4 f 5 f
1+ f +¥  

 

Eq punti coniugati
1 1 1  
+
=
  f=R/2
p q f  
pq       pf   qf
=f      q=
     p=
p+q       p-f   q-f
f presa come unità di misura
pq       p   q
=1      q=
     p=
p+q       p-1   q-1
Ingrandimento
  y' q f q-f
G=
 = -
 = -
 = -
  y p p-f f

y'=yG    q=-pG
G-1  
p= f
      q=f(1-G)
G  
G 1
f= p
      f= q
G-1 1-G

Casi-posizioni-ingrandimenti particolari

sorgente
p		 immagine

q

 Ingrandimento immagine
+¥ f+ 0- capovolta e rimpicciolita
3f (3/2)f -1/2
2f 2f -1 capovolta; p=q; simmetria scambio p«q
(3/2)f 3f -2
f+ +¥ -¥ capovolta e ingrandita
f ¥ si svolge una simmetria;

discontinuita' o

continuita' circolare
f- -¥ +¥
(2/3)f -2f 3
(1/2)f -f 2
(1/3)f -(1/2)f 3/2
0+ 0- 1+

I casi sono presentati dall'alto in basso in ordine di p decrescente da +¥ a 0.

L'essere p in f, o il suo attraversamento, marca una zona di confine, e' intuitivo, pero' la precisazione non e' immediata, e ci sono piu' aspetti.