^^Teorema della proprieta' associativa

a₁a₂ ... a_n  = k      ⇔       (ab)c = a(bc)    ∀a,b,c ∈ X

Un primo passo didattico e' dimostrare il seguente

TEO: Se e' associativa per 3 elementi ⇒ e' associativa per 4.

Teo: d PROPRIETA' ASSOCIATIVA

una opbin e' occa-associativa
⇔   (ab)c = a(bc)    ∀a,b,c ∈ X  

dim: mostriamo che tutti i prodotti coincidono con
{[(a1a2)a3]a4}a5...

La dim e' per induzione; il teo e' vero per n=3 per ipotesi; lo si suppone vero per una n-pla e lo si dimostra per una (n+1)-pla.
Detto in altro modo:

• l'ipotesi di induzione e' che valga la proprieta' associativa per n elementi
• la dim per induz e' dimostrare che vale l'associativita per n+1 elementi.

Ogni prodotto degli n+1 fattori a[i], comunque siano le parentesi, all'ultima moltiplicaz e' necessariamente del tipo y1y2, dove y1 e y2 sono elementi ottenuti moltiplicando in una certa associaz un numero di fattori =< n, ai quali quindi e' applicabile l'ipotesi di induzione, che in q caso e' la validita' d associativita' per n elementi
y1y2= (a1...ah)(a[h+1]...a[n+1])
= per l'ipotesi d'induzione
= (a1...ah)((a[h+1]...an)a[n+1])
= per l'ipotesi di associativita' ternaria
= ((a1...ah)(a[h+1]...an))a[n+1]
= per l'ipotesi di induzione
= (a1...an)a[n+1].

Links

Le possibili associazioni di 3 e 4 elementi.

Talk

Museo senza simboli speciali

TEO: se po a,b,c ap X     (ab)c = a(bc)
=> po a,b,c,d ap X ((ab)c)d = (ab)(cd) = a(b(cd))
Se e' associat per 3 => e' associat per 4.

Teo: d PROPRIETA' ASSOCIATIVA

una opbin e' occa-associativa
<=> po a,b,c ap X (ab)c = a(bc)