^^Isomorfismo. Automorfismo

Concetto di Isomorfismo

  1. Paragone, analogia, metafora, modello, iso-morfismo.
  2. Isomorfismo Realtà-Modello.
  3. Il mondo degli specchi e il mondo dei rimbalzi, sono mondi isomorfi.
  4. Definizione strutturale e funzionale dei numeri.
  5. i nr naturali sono isomorfi a un sottinsieme dei nr razionali >>>
  6. In certe situazioni forme diverse sono in isomorfismo
    es: volume e altezza per cilindri di ugual base,
    per cui chiarito l'isomorfismo e' accettabile l'esprimersi in un ambito per
    l'altro. Metti ghiaia in acqua.

 

Isomorfismo (tra 2 operazioni binarie)

una corrispondenza biunivoca tale che

se gli operandi si corrispondono, allora si corrispondono i risultati

(X,+)

f

 (X',+)  
a ↔ a' gli operandi si corrispondono
b ↔ b'  
a+b ↔ a'+b' i risultati si corrispondono

Questo e' il concetto, es

Scrittura-formulazione standard d isomorfismo tra 2 op bin

e' piu' compatta e operativa di quella di concetto, e una volta capito il concetto risulta piu' comoda. Per ottenerla da quella di concetto, riscrivere

(X,+)

f

 (X',+)
a ↔ a' ≡ f(a)
b ↔ b' ≡ f(b)
a+b ↔ (a+b)' ≡ f(a+b)

= a'+b' ≡ f(a)+f(b)

in totale:

f(a+b) = f(a)+f(b)  
l'immagine della somma
= alla somma delle immagini

Legge additiva; schema astratto matematico. Funzione additiva.

automorfismo
isomorfismo di una struttura con se stessa

Esempi

L'esempio che mi colpisce di piu', che e' di importanza fondamentale, ed e' una vera sorpresa rivederlo da questo punto di vista, e':

nei numeri reali ∃ un isomorfismo tra il gruppo additivo dei reali relativi ed il gruppo moltiplicativo dei reali positivi !
e' la funzione esponenziale !

exp(a + b) = exp(a) * exp(b)

 

log(a * b) = log(a) + log(b)

 

log(a) + log(b)  = log(a * b)

Tipi di distanza nel piano cartesiano.

Isomorfismo tra

  1. Spazi vettoriali.
  2. Alberi
  3. Multiplo e Potenza sono isomorfi.
  4. Le traslazioni dell'opbin sono isomorfe al gruppo.
  5. Numeri di stato e numeri di trasformazione.
  6. Regola dei segni della moltiplicazione.
  7. Un gruppo e' isomorfo al prodotto cartesiano del gruppo quoziente col gruppo kernel.

Links

  1. Importanza dell'isomorfismo. Gruppo algebrico. Intro.
  2. Legge additiva; schema astratto matematico. Funzione additiva.
  3. Omomorfismo. Isomorfismo. Applicazione lineare, additiva, moltiplicativa.

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Dirlo

 

   

f

  
se   a ↔ a'
  e   b ↔ b'

allora  

a+b ↔ a'+b'

 

 

 

X

f

X'
se   a ↔ a'
  e   b ↔ b'

allora  

a+b ↔ a'+b'

 

 

    (X,+)

f

 (X',+')

se

gli operandi   

si corrispondono   

a ↔ a'
b ↔ b'
allora  

si corrispondono   
i risultati    

a+b ↔ a'+'b'

 

(X,+)

f

 (X',+')  
a ↔ a' gli operandi si corrispondono
b ↔ b'  
a+b ↔ a'+'b' i risultati si corrispondono

c: il corrispondente e' indicanto con l'accento, anche per l'op bin

+ ↔ +'   anche se porta alla confusa scrittura  a'+'b'

 

Isomorfismo, tra 2 magmi

Questo e' il concetto. E' espresso in riferimento alle 2 strutture algebriche. Dopo di che, siccome questo stato d'essere dipende tutto dall'esistenza dell'applicazione-cb, nella pratica dimostrativa "isomorfismo" diventa tale applicazione.