^^Inverso di un elemento, secondo un'operazione binaria.

inverso di un elemento, secondo un'operazione binaria

x-¹x = xx-¹ = u     x^-1 e' la notazione per l'inverso di x

Presupposto:  per parlare di inverso di un elemento,

ci si deve trovare in un insieme dotato di op bin e di unita' (X;*;u)

Proprieta' (conseguenza di teoremi)

1. L'inverso e' sia inverso sinistro che inverso destro.
2. L'inverso commuta con l'elemento iniziale.
3. (x^-1)^-1 = x  l'inverso dell'inverso e' l'elemento stesso.
4. L'inverso, se ∃, e' unico (se la legge di composizione e' associativa).
   • Segue da: L'inverso sinistro e destro sono uguali.
   • ∃ x→x^-1 la funzione che fa corrispondere ad un elemento il suo inverso.
5. L'inverso e' unico e sempre lo stesso in tutti i sottogruppi che lo contengono.
6. (ab)^-1 = b^-1a^-1 L'inverso del composto e' il composto degli inversi, scambiati.
   • Il passaggio all'inverso x→x^-1  in un gruppo commutativo, e' un omomorfismo !
7. Un elemento commuta con l'inverso di un altro elemento, se commuta con tale elemento

   ab^-1 = b^-1a    se   ab = ba    (in un semigruppo).

   Segue:  Se 2 elementi commutano, allora commutano anche i loro inversi.

Dim:

1e2e3 dalla def

L'inverso e' detto con piu' terminologie, legate alle operazioni *, in primis, e + in secundis

Inverso additivo, inverso moltiplicativo, opposto, reciproco.

(-x)+x = x+(-x) = 0     -x e' la notazione per l'opposto di x

Spaziatura di scrittura dell'algebra, per visibilita'.

Teoremi

Teo: l'inverso sinistro e destro sono uguali, se la legge di composizione e' associativa.
       L'inverso e' unico (se ∃)

dim: (sx)d = s(xd)  per la proprieta' associativa. Sviluppando membro a membro:

ud = su     def di inverso sinistro e dx

d = s        def unita'

Teo: (x^-1)^-1 = x   l'inverso dell'inverso e' l'elemento di partenza.

In altre parole: L'elemento e' l'inverso del suo inverso.

dim: discende direttamente dalla definizione, poiche' e' simmetrica.

Teo: inverso del composto  (ab)^-1 = b^-1a^-1

dim:

(ab) b^-1a^-1 = a(b b^-1)a^-1 = aa^-1 = u

b^-1a^-1(ab)  = b^-1(a^-1a)b  = b^-1b = u

C'e' una grossa differenza secondo che i termini commutino o no, o in grande l'opbin sia commutativa o no.

Teo: il passaggio all'inverso_opposto_reciproco in un gruppo commutativo, e' un omomorfismo !

f(a+b) = f(a) + f(b)    l'immagine della somma e' uguale alla somma delle img

-(a+b) = -(a) + -(b)

Att! Non confondere le parentesi delle funzioni con quelle delle espressioni. In certi linguaggi di programmazione hanno segno diverso !

Teo: In un semigruppo. Se un elemento commuta con un altro, commuta con l'inverso.

dim: ip: ab=ba; ∃ b^-1;  th: ab^-1 = b^-1a.

ab^-1 = (b^-1b)ab^-1 = b^-1(ba)b^-1 = b^-1(ab)b^-1 =  b^-1a(bb^-1) = b^-1a.

dida: Ho preferito questo teo qui come residenza, piuttosto che in Proprieta' commutativa.

Dirlo,

Un elemento commuta con l'inverso di un altro elemento, se commuta con tale elemento.

cmt: e' opportuno esercitare lo scioglilingua dei rivolti.

Teo: Se 2 elementi commutano, commutano i loro inversi

dim: ip:  xy=yx    (xy)^-1=(yx)^-1    y^-1x^-1 = x^-1y^-1

Links

Proprieta' commutativa.

Approfondimento

Volendo ci si puo' complicare la vita parlando di inverso sinistro e destro in associazione con unita' sinistra e destra, ma lasciamo perdere poiche' sono fatti trascurabili rispetto all'importanza dell'inverso rispetto all'unita'.

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Titolo

Elemento inverso di un elemento, secondo una legge di composizione.