^^Symmetric group. Gruppo delle permutazioni.

Not to be confused with wp/Symmetry group.

gruppo simmetrico di un insieme wp: le permutazioni dei suoi elementi, munito dell'operazione binaria di composizione di funzioni. Sym(X) gruppo simmetrico dell'insieme X.
S_n gruppo simmetrico su n elementi: Teo: il numero di permutazioni e' n!
gruppo di permutazioni: sono permutazioni, ma non tutte, cioe' un sottogruppo di un gruppo simmetrico

math.stackexchange/what-kind-of-symmetry-is-the-symmetric-group-about ?

Il gruppo simmetrico su un insieme finito e' un argomento di studio standard in mateatica, invece su un insieme infinito e' argomento specialistico.

Endofunzione su un insieme finito

esof: Spazio funzionale delle funzioni da un insieme ad un altro, solo che per le enofunzioni dominio e codominio coincidono.

X={a,b,c,d,e} e' un insieme di 5 elementi

f={ (a,b), (b,a), (c,d), (d,b), (e,c) } e' una f:X→X iniettiva

f=	a	b	c	d	e
f=	b	a	d	e	c

e' la funzione scritta in forma tabella

A ogni funzione corrisponde 1-1 la n-pla delle immagini

(f(a),f(b),f(c),f(d),f(e)) ∈ X_axX_bxX_cxX_dxX_e ≡ X⁵

(f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)) ∈ X₁xX₂xX₃xX₄xX₅ ≡ XxXxXxXxX ≡ X⁵

X^|X| e' il prodotto cartesiano. in corrispondenza biunivoca con

X^X ≡ X→X l'insieme delle endofunzioni di X

intuitivamente possiamo pensare-interpretare la funzione come un riposizionare-permutare gli oggetti; ogni posto ha il suo nome, e potrebbe essere disposto qualsiasi, ma siccome ne stiamo parlando in linguaggio scritto e le lettere le allineiamo in fila da sinistra a destra, pensiamo che cosi' sia la disposizione: posti numerati da sx a dx.

Si puo' pensare un'altra funzione, in corrispondenza a un altro riposizionare;

si possono considerare tutte le possibili funzioni.

si puo' ripetere la stessa permutazione

Sottoinsiemi invarianti di una endofunzione.