Precis: proprieta' delle operazioni con le potenze.
| ambn = ??? | come sviluppare il prodotto di potenze ? |
|---|---|
| aman = am+n | prodotto di potenze di ugual base |
| anbn = (ab)n | prodotto di potenze di ugual esponente |
| m≠n a≠b rimane cosi' |
| anbn = (ab)n | (ab)n = anbn potenza del prodotto | |
| aman = am+n | am+n = aman |
Analogo a:
proprieta' distributiva INVERS raccogliere a fattor comune
(ab)n = anbn
(()*())n = ()n*()n e' apparsa come scrittura spontanea di un allievo (Vitaloni 2106) come commento allo sviluppo di (4*10-3)2 denominatore della legge di Coulomb >>>
Formalmente e' corretta, solo che non e' espressine standard.
Ad alcuni allievi l'uso delle parentesi piuttosto che un identificatore riesce piu' spontaneo.
aman=am+n
Il prodotto di 2 potenze di ugual base e' uguale a:
una potenza che ha:
La formula verbale standard, che si impara gia' alla scuola media inferiore.
Questa formulazione, come avviene per altre, ha il difetto di:
am+n e' la potenza risultato del prodotto di potenze ugual base
(an)m = an*m
la potenza di una potenza e' uguale a:
una potenza che ha:
Queste proprieta' d potenze si fondano sulla proprieta' associativa; e' per questo che parliamo di potenze in un semigruppo, poiche' se non vale la proprieta' associativa, non e' possibile dimostrare le proprieta' di base delle potenze.
Titolo alternativo che tenga presente cio': "Proprieta' delle potenze in un semigruppo".
per assicurare l'univocita' occorre:
o- precisare l'esecuzione binaria con le parentesi
o- richiedere che l'operaz sia associativa
Nella pratica matematica cio' che si fa e' richiedere l'associativita', poiche'
non si conoscono operaz non associative in cui si possa introdurre in modo
significativo la nozione di potenza
teo: se a e b commutano
=> (ab)^n = (a^n)(b^n) (ab)n = anbn
(a^m)*(a^n)=a^(m+n) aman=am+n
(ab)^n = (a^n)(b^n) (ab)n = anbn
(a^m)^n = a^(m*n) (an)m = an*m
(a^m)*(a^n)=(a^n)*(a^m)
dim1: entrambi i membri sono uguali a a^(m+n)
dim2: corollario d teo d sottogruppi d potenze.
pensando gli esponenti variabili, evidenzia che q proprieta' si puo' leggere come linearita' d funzione esponenziale tra il gruppo additivo e quello moltiplicativo.
e' la potenza che ha per base la stessa base, e per esponente la somma degli esponenti: aman=am+n
e' la potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente anbn = (ab)n
e' uguale al prodotto delle potenze (ab)n = anbn
(a+b)n = an + nan-1b+ ... + nabn-1 + bn
| a=b potenza del prodotto di ugual base aman = am+n |
|
| ambn m≠n a≠b rimane cosi' |
|
| m=n potenza del prodotto di ugual esponente anbn = (ab)n |
| aman di ugual base = am+n | |
| ambn | |
| anbn di ugual esponente (ab)n |
| ambn | m≠n a≠b rimane cosi' |
| a=b | aman = am+n potenza del prodotto di potenze ugual base |
| m=n | anbn = (ab)n potenza del prodotto di potenze ugual esponente |