^^Divisione in algebra astratta.

Divisione sx e dx

A seconda del caso, l'eq puo' avere: 0, 1, o piu' soluzioni;

se la soluzione ∃! (esiste unica)

x e' il risultato della divisione sx :_s  p:_sd di p con d

nm: x ≡ p:_sd   p dividendo; d divisore sx.

Divisione dx

p=xd   equazione in x; se la soluzione ∃!

x e' il risultato della divisione dx :_d  p:_dd di p con d
nm: x ≡ p:_dd    p dividendo; d divisore dx.

Division in this sense does not require * to have any particular properties such as commutativity, associativity, or an identity element.

wp/Quasigroup  a magma in which division is always possible,

even without an identity element and hence inverses.

Teo: in un gruppo la divisione e' sempre possibile, cioe'
        a=bx  eq in x, soluzione ∃!  x=b^-1a
        a=xb  eq in x, soluzione ∃!  x=ab^-1

dim:  a=bx

b^-1a = b^-1(bx)  ∃ inverso, moltiplicato entrambi i membri per b^-1

b^-1a = (b^-1b)x   proprieta' associativa

b^-1a = ux           proprieta' inverso

b^-1a = x             proprieta' unita'.

Attenzione! Questa e' solo meta' dimostrazione, cio' che e' dimostrato e' l'unicita': se ∃x: a=bx  allora questo x uguaglia  b^-1a.

Per dimostrare che e' anche soluzione si puo' fare i 2 modi

1. sostituire ad x b^-1a, che con un po' di esperienza si vede ad occhio
   bx= b(b^-1a) = (b^-1b)a = ua = a
2. dimostrare che i passaggi fatti sono reversibili, che sono la base dei passaggi reversibili, base per il passaggio tra equazioni equivalenti.

Detto altrimenti

 a∗x=b iff x=a⁻¹∗b, and y∗a=b iff y=b∗a⁻¹

Corollario: Every group is a quasigroup

Prospettiva "equazione come funzione"

p=dx  equazione in x, e' associata alla funzione

x→y=dx  le soluzioni dell'eq sono le controimmagini di p; quindi:

"la soluzione ∃!"  ⇔  "la controimmagine ∃!".

Se questo avviene  ∀p, allora la funzione e' sia

• suriettiva poiche' almeno 1 controimmagine ∃
• iniettiva poiche' massimo 1 controimmagine ∃

biiettiva in totale.

Spiega alter

consideriamo

p= f_s*f_d      il prodotto di 2 fattori, fattore sx e fattore dx.

interpretare l'operazione di divisione partendo dal prodotto

• il prodotto e' interpretato come dividendo
• i fattori sono i divisori

il prodotto e' diviso in 2 elementi come prodotto di 2 fattori.

p:f_s = f_d       p:f_d = f_s

Il prodotto diviso con un fattore da' l'altro fattore.

Nel caso la moltiplicazione non sia garantita commutativa, occorre precisare se il divisore d, equi la divisione, e' da considerarsi sx o dx

• p=d*x   ≡   p:_sd=x   ≡   divisore sx  ≡  divisione sx :_s
• p=y*d   ≡   p:_sd=x   ≡   divisore dx  ≡  divisione dx :_d

ridetto

p=d*x   divisione di p con d a sx,    cioe' div sx di p con d

p=y*g   divisione di p con g a dx,    cioe' div dx di p con d

l'operazione di divisione e' definita se il risultato esiste unico.

diviso a sx dal fattore sx

f=g*h    f e' diviso in 2 come prodotto di g e h

6=2*3  

5=2+3

Altri significati di "divisione"

"Division" in the sense of "cancellation"

can be done in any magma by an element with the cancellation property.

In an integral domain, where not every element need have an inverse, division by a cancellative element a can still be performed on elements of the form ab or ca by left or right cancellation, respectively.

If a ring is finite and every nonzero element is cancellative, then by an application of the pigeonhole principle, every nonzero element of the ring is invertible, and division by any nonzero element is possible.

Division algebras.

In particular Bott periodicity can be used to show that any real normed division algebra must be isomorphic to either the real numbers R, the complex numbers C, the quaternions H, or the octonions O.

wp/Division_(mathematics)#Abstract_algebra