^^Combinazioni di tratteggi

Questi sono tratteggi di base. ref: terminologia

Cosi' come combinando i colori si ottengono nuovi colori, combinando i tratteggi si ottengono nuovi tratteggi.
es:

1. Quante combinazioni di tratteggio sono possibili combinando i tratteggi sovrapponendoli?
2. Costruiscile tutte.

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Vuoi sapere la risposta?

La risposta dei matematici. Come la matematica organizza le combinazioni.

Procedura di costruzione di tutte le combinazioni

Tavola di combinazione

La successione degli insiemi di combinazioni sempre piu grandi

Combinazioni  formali

La risposta dei non matematici

2 tratti combinati

3 tratti combinati

4 tratti combinati

I matematici aggiungono:

le combinazioni fatte da 1 solo elemento

e la combinazione fatta da zero elementi.

Sembra stupido, ma non lo e' perche' rende la struttura complessiva piu' regolare e quindi esteticamente piu' bella e piu' semplice da trattare in termini formali.

La combinazione fatta da 0 elementi e' analoga allo zero nei numeri.

Inoltre le combinazioni vengono disposte in verticale piuttosto che in orizzontale come ci guida lo stile di scrittura, poiche' i matematici sono guidati con priorita' dallo stile dei diagrammi cartesiani.

La risposta dei matematici. Come la matematica organizza le combinazioni.

ci siamo domandati come fosse la piramide quando gli elementi da combinare sono di meno.

Abbiamo ordinato il crescere (di numeri e piramide) con l'usuale ordine  da sinistra a destra.

E ci domandiamo come cresce la piramide al crescere degli elementi da combinare.

Procedura di costruzione di tutte le combinazioni

Questa presentata e' una procedura ricorsiva:

1. determina le combinazioni di n elementi per un n comodo, ad es. le combinazioni di 2 elementi
2. dalla conoscenza delle combinazioni di n elementi, determina la combinazione di n+1 elementi

Le combinazioni di 1 elemento.

Con 1 elemento la persona comune non fa combinazioni, invece il matematico ne fa 2: la combinazione di zero elementi e la combinazione di 1 solo elemento. Sembra una complicazione, ma rende la costruzione seguente piu' regolare. Cmq si puo' fare un procedimento equivalente senza considerare le combinazioni banali (per i matematici) astruse per i non matematici, di 1 elemento e la combinazione vuota.

Caso 1: dalle combinazioni di 1 elemento, costruire le combinazioni di 2.

Qui il procedimento parte dal caso delle combinazioni con 1 elemento, invece che con 2, per ragioni di completezza.
Tale caso sembra astruso a chi non si e' fatto un po' di mentalita' matematica, pero' e' utile per costruirla; quindi dopo averlo inizialmente saltato partendo da 2, lo si puo' rileggere a posteriori.
Per capire il procedimento, si puo' partire con la costruzione gia' dal caso di 2 elementi e costruire le combinazioni con 3 elementi.

2a Costruisco le ulteriori combinazioni dovute al nuovo elemento

vecchie combinazioni		nuovo elemento		nuove combinazioni dovute al nuovo elemento
	+		=

2b Unisco le vecchie combinazioni alle nuove combinazioni

		+			=

Attenzione: questo e secondo "+" e il precedente hanno significati diversi: qui e' l'unione insiemistica, quella di prima e' una composizione tra vecchie composizioni e un nuovo elemento, che fornisce nuove combinazioni.

Caso 2: dalle combinazioni di 2 elementi, costruire le combinazioni di 3.

2a Costruisco le ulteriori combinazioni dovute al nuovo elemento

			+		=

2b Unisco le vecchie combinazioni alle nuove combinazioni

			+				=

Attenzione: questo e secondo "+" e il precedente hanno significati diversi: qui e' l'unione insiemistica, quella di prima e' una composizione tra vecchie composizioni e un nuovo elemento, che fornisce nuove combinazioni.

Caso 3: dalle combinazioni di 3 elementi, costruire le combinazioni di 4.

2a Costruisco le ulteriori combinazioni dovute al nuovo elemento

				+		=

2b Unisco le vecchie combinazioni alle nuove combinazioni

+

=

Caso 4: dalle combinazioni di 4 elementi, costruire le combinazioni di 5.

Qui l'elemento da comporre, invece che un tratteggio, e' uno sfondo colorato. Lo scopo e' capire che si possono combinare diversi tipi di ingredienti.

2a Costruisco le ulteriori combinazioni dovute al nuovo elemento

+

=

2b Unisco le vecchie combinazioni alle nuove combinazioni

+

=

La successione degli insiemi di combinazioni sempre piu' grandi

Tutta la successione in orizzontale.
E' qui sotto, per vederla tutta bisogna scendere fino alla base e poi  far scorrere in orizzontale.

Tavola di combinazione

La combinazione produce una tabella simmetrica rispetto alla diagonale.

Per le matrici simmetriche c'e' una rappresentazione  stringata.

					Si puo' notare che ancora, come nella tabella standard, il risultato della combinazione tra si trova all'incrocio delle righe e colonne passanti per i componenti. I componenti, cioe' gli elementi da combinare, si trovano sulla diagonale.
					Sotto c'e' un altro esempio per facilitare la comprensione.

Un altro esempio di tabella di questo genere e' quella dei chilometraggi tra le citta', come riportati negli stradari.

Combinazioni  formali

Gli elementi vengono indicati con lettere, e la combinazione viene indicata dall'accostamento delle lettere.      

Scritto cosi' ci si rende conto che le combinazioni non sono altro che i sottoinsiemi dell'insieme formato dagli elementi da combinare.