Funzione lipschitziana
∃k: d'(f((a),f(b)) ≤ k*d(a,b) ∀a,b∈domf
d d' distanza in uno spazio metrico
f:X→X' funzione tra 2 spazi metrici (X,d) (X',d')
| d'(f((a),f(b)) d(a,b) |
≤ k |
e' interpretabile come rapporto incrementale limitato da k |
Detta: funzione a rapporto incrementale limitato.
Nella def si potrebbe usare "<" al posto di "≤", ma per altre def conviene qui un "≤".
contrazione di un spazio metrico k<1, ⇒ la distanza tra le immagini e' minore della distanza tra in punti di partenza.
Funzione uniformemente continua
f:X→X' funzione tra 2 spazi metrici (X,d) (X',d').
| ∀ε>0 ∃δ>0: d(a,b) | < | δ ⇒ d(f((a),f(b)) | < | ε ∀a,b∈domf |
| ≤ | ≤ |
usare < o ≤ equivale, anche uno cosi' e uno cosa'.
La scrittura dice che δ=δ(ε), dipende da ε, ma non dai punti considerati a e b, cioe' la scelta di δ soddisfa la condizione richiesta, per tutti i punti del dominio, con lo stesso δ.
Invece la scrittura
∀a,b∈domf ∀ε>0 ∃δ>0: d(a,b) < δ ⇒ d(f((a),f(b)) < ε
che ha gli stessi ingredienti ma in ordine diverso, permette δ=δ(ε,a,b)
e quindi e' una condizione piu' debole della precedente.
dim: ricordiamo le def: uniforme continuita' e Lipschitz
d'(f((a),f(b)) ≤ k*d(a,b) < k*δ < ε
se δ < ε/k
rob: pensavo di dimostrarla cosi', ma ...
dim: uniforme continuita'
∀ε>0 ∃δ>0: d(a,b) < δ ⇒ d(f((a),f(b)) < ε
si puo' riscrivere
∀ε>0 ∃k>0: d(a,b) < ε*k ⇒ d(f((a),f(b)) < ε
il k e' scelto opportunamente a seconda di ε, quindi dipende da ε, e' una funzione di ε: k=k(ε).
Se il k puo' essere scelto indipendente da ε, la proprieta' si puo' scrivere
∃k>0: ∀ε>0 d(a,b) < ε*k ⇒ d(f((a),f(b)) < ε
non riesco a mostrare che questa e' la condizione di Lipschitz.