^^∑ 1/n² = 1 + 1/2² + 1/3² + ...   Basel problem.

1  +  1

2

  +  1
3		  +  1
4		  +  1
5		  + ...    ≡     ∑
n≥1		   1
n		      

serie armonica
                               
1  +  1

22

  +  1
32		  +  1
42		  +  1
52		  + ... ≡  ∑
n≥1		   1
n2		  

∑ 1/n²  Basel problem
                               
1  +  1

2s

  +  1
3s		  +  1
4s		  +  1
5s		  + ... ≡  ∑
n≥1		   1
ns		  

ζ(s) Zeta function

 

∑ 1/n² , named after Basel, hometown of

Teo: ∑ 1/n² e' una serie convergente

dim: minorante della serie dei reciproci dei nr triangolari

1  +  1

22

  +  1
32		  +  1
42		  +  1
52		  + ... ≡  ∑
n≥1		   1
n2
                           
2

1*2

  +  2

2*3

  +  2

3*4

  +  2

4*5

  +  2

5*6

  + ... ≡  ∑
n≥1		   2
n(n+1)

Teo:

1

22

  ·  ∑
n≥1		   1
n2		   =   ∑
n pari		   1
n2

 

 ∑
n≥1		   1
n2		   −   ∑
n pari		   1
n2		   =   ∑
n dispari		   1
n2

 

 ∑
n≥1		   1
n2		   −   ∑
n pari		   1
n2		   −   ∑
n pari		   1
n2		   =   ∑
segni		   1
n2
                        alterni    

Forma sintetica, sottindendendo gli addendi

1

22

  ∑
 		  =   ∑
pari

 

 ∑
 		   −   ∑
pari		   =   ∑
dispari

 

 ∑
 		   −   ∑
pari		   −   ∑
pari		   =   ∑
segni
            alterni

 

Links

  1. wp/Basel_problem
  2. Zeta function. The Riemann hypothesis. Euler Prime Product Formula

 

 

To lissen is an effort, and just to hear is no merit. A duck hears also.

- Igor Stravinsky

Talk

 

 ∑   1
n2		   -   ∑   1
n2		   -   ∑   1
n2		   =   ∑   1
n2
n≥1       n pari       n pari       segni    
                        alterni