Dipendenze e funzioni.

h_S= altezza di sgancio; h_R= altezza del rimbalzo

Se varia h_S , allora varia h_R , cioe' h_R dipende da h_S

Piu' precisamente: Se aumenta (o diminuisce) h_S , allora aumenta (o diminuisce) h_R

Piu' precisamente: esistono diversi modi di aumentare o diminuire.

Esempio: Usando le operazioni matematiche, si puo':
- aumentare o diminuire tramite la somma di numeri relativi
- aumentare o diminuire tramite la moltiplicazione di numeri decimali

Nel caso del rimbalzo tutte le variazioni si possono esprimere con la seguente regola:
Se si moltiplica h_S , allora si moltiplica h_R per lo stesso numero.

A parole si usa dire che: h_S e h_R sono proporzionali.

- variare sommando, non conserva la proporzione
- variare moltiplicando, conserva la proporzione

Alcuni tipi di corrispondenza tra 2 grandezze variabili:

Commento

individuare le variabili
corrispondenti

ad ogni valore di x

corrisponde 1 e 1 solo valore di y
(= almeno 1 e non piu' di 1)

funzione univoca

extra

aumenta/diminuisce

funzione concorde

aumenta/diminuisce

diminuisce/aumenta

funzione discorde

proporzionalita'

moltiplica per un numero decimale

moltiplica per lo stesso numero

proprieta' principale

y=k*x

k costante della proporzionalita'

	y
k=
	x

formula della funzione
di proporzionalita'

Misura

Se la differenza di 2 grandezze e' minore della sensibilita' dello strumento,
allora le 2 grandezze risultano indistinguibili.

Parte 2^a: Calcolare il valore corrispondente di un dato valore,
tramite: calcolo grafico e calcolo numerico-letterale

Dati

Calcolo numerico letterale

x= h_S

y= h_R

	y
k=
	x

y= k*x

	y
x=
	k

110

	70
k=		=0,64
	100

150

y= 0,64*150=96

	40
x=		=62,5
	0,64

Avviso: e' obbligatorio scrivere la sostituzione numerica, cioe' la sostituzione dei numeri alle lettere, non e' completo scrivere solo il risultato senza l'indicazione dell'operazione.

Dati reali		Dati grafici in scala
x= h_S	y= h_R	x= h_S	y= h_R
110	70	11	7
150	?	15
?	40		4

Commento

La pagina da completare e' riempita dal testo, non conviene aggiungere altro, non piu' di 15 domande.

Qui ci sono altre domande, anche interessanti, ma sarebbero eccessive.

E' interessante l'extra sulla risoluzione della rappresentazione.
extra:
Se la differenza di 2 grandezze e' minore della della sensibilita'-risoluzione della rappresentazione,
allora le 2 rappresentazioni risultano indistinguibili.

c: rappresentazione particolarmente espressiva-chiara

Piu' precisamente: Se

aumenta (o diminuisce)
h_S

, allora

aumenta (o diminuisce)
h_R

Miglioramenti

Esempio: Usando le operazioni matematiche, si puo':
- aumentare o diminuire tramite la somma di numeri relativi
- aumentare o diminuire tramite la moltiplicazione di numeri decimali

Esempio: Usando le operazioni matematiche, si puo':
- aumentare o diminuire un numero tramite l'addizione di un numero relativo
- aumentare o diminuire un numero tramite la moltiplicazione di un numero decimale

Nel caso del rimbalzo, in generale:
Se si moltiplica h_S , allora si moltiplica h_R per lo stesso numero.
cmt: cosa significa "in generale"?
Nel caso del rimbalzo tutte le variazioni si possono esprimere con la seguente regola::
Se si moltiplica h_S , allora si moltiplica h_R per lo stesso numero.

Commenti alla 2^a parte

Facendo un'unica tabella in cui ci sono sia i dati grafici che la risoluzione numerico-letterale, gli allievi tendono a confondersi, quindi meglio 2 separate.

Dati reali

Dati grafici

Calcolo numerico letterale

x= h_S

y= h_R

x= h_S

y= h_R

	y
k=
	x

y= k*x

	y
x=
	k

110

	70
k=		=0,64
	110

150

y= 0,64*150=96

	40
x=		=62,5
	0,64

c: e' una domanda sensata, ma appesantirebbe.

dato il valore della x
- calcolare il corrispondente valore della y
dato il valore della y
- calcolare il corrispondente valore della x

Errori degli allievi:

Calcolo numerico leterario.

Franzoni_2004
Nel caso del rimbalzo, in generale:
Se si moltiplica h_S , allora si moltiplica h_R per lo stesso numero.

A parole si usa dire che: h_S e h_R dipendono dallo stesso numero. !!!!!

comment: la risposta esatta era "sono proporzionali"
Franzoni senza volere, vede la dipendenza dal parametro della proprieta' di omogeneita'

La proporzione

Diminuire sottraendo
aumentare addizionando
non conserva la proporzione

Diminuire dividendo
aumentare moltiplicando
conserva la proporzione

c: questa e' la versione piu' generale:
- variare sommando, non conserva la proporzione
- variare moltiplicando, conserva la proporzione
cmt: forse e' meglio dire "addizionando"

d: cos'e' la proporzione?
r:
- proporzione delle figure
es: altezza fronte, altezza naso e distanza base-naso base-mento sono uguali
- proporzioni numeriche

La dipendenza

Nel caso del rimbalzo, conviene esprimere la dipendenza tramite l'operazione di moltiplicazione
Se si moltiplica h_S , allora si moltiplica h_R per lo stesso numero.

c: un allievo ha usato "addizione" invece che somma:
Esempio: Usando le operazioni matematiche, si puo':
- aumentare o diminuire tramite l'addizione di numeri relativi

Schema sintetico per ricordare le precisazioni successive:

		Commento
x	y	individuare le variabili
varia	varia	dipendenza
aumenta/diminuisce	diminuisce	dipendenza concorde
divide	divide	proporzionalita'

dida: in questo compito 2003 ho mimato il percorso fatto in classe, invece nel 2004 ho scelto l'impostazione piu' generale, poiche' questo vuole essere lo spirito dei compiti in classe.

h_S= altezza di sgancio; h_R= altezza del rimbalzo

Se varia h_S , allora varia h_R , cioe' h_R dipende da h_S

Piu' precisamente: Se diminuisce h_S , allora diminuisce h_R

Piu' precisamente: ci sono diversi tipi di diminuzione.

Esempio: Usando le 4 operazioni dell'aritmetica, si puo':
- diminuire sottraendo
- diminuire dividendo

Quindi piu' precisamente: Se si divide per 2 h_S , allora si divide per 2 h_R

Piu' in generale: Se si divide h_S , allora si divide h_R per lo stesso numero

Si puo' dire in modo sintetico che: h_S e h_R sono proporzionali.

Poiche':
- diminuire sottraendo, non conserva la proporzione
- diminuire dividendo, conserva la proporzione