^^Inviluppare il grafico cartesiano di una funzione.

<<Inviluppo di una famiglia di rette nel piano.

inviluppare una curva, con una famiglia di rette
costruire una famiglia di rette il cui inviluppo e' la data curva, cioe' tutte le rette tangenti alla curva.
inviluppare il grafico cartesiano di una funzione, con una famiglia di rette
costruire una famiglia di rette il cui inviluppo e' il grafico della data funzione, cioe' tutte le rette tangenti al grafico.

Idea: data funzione, e quindi il suo grafico, costruire le rette tangenti a un punto che "corre lungo il grafico", cioe' la retta tangente a un generico punto del grafico.

E' una famiglia di rette che inviluppa il grafico.

Equazione della retta tangente, in un punto(x0,f(x0)) del grafico della funzione f 

occorre sapere  eq retta tangente in un fissato punto,

per "fare correre il punto di tangenza" basta considerarlo un parametro variabile

Funzione   Retta tangente al grafico in x=x0
f y= f'(x0)*(x-x0) + f(x0)

Es

  

f(x)=kx²

f(x)=kxn

y= k2x0*(x-x0) + kx0²

y= knx0n-1*(x-x0) + kx0n

Formula di una famiglia di rette

y= g(p)*(x-p) + h(p)

y= g(p)*(x-p) + h(p)   non si autoqualifica

poiche' una lettera puo' essere sia un numero_lettera (cioe' una costante) che una variabile

p y= g(p)*(x-p) + h(p)
p numero y=f(x)     funzione di 1 variabile
p variabile   y=f(x,p)  funzione di 2 variabili

 

Equazioni della retta >>>

coeff angolare e 1 punto P della retta

    quelli che erano numeri_letterali k y0 
diventano parametri variabili
funzione di un unico parametro p
y= kx+y0   y= g(p)*x+h(p)
y= k(x-x0)   y= g(p)*(x-h(p))
y= k(x-x0)+y0   y= g(p)*(x-h(p))+v(p)
ax+by+c=0   a(p)*x+b(p)*y+c(p)=0

 

GeoGebra  inviluppo_kx2.ggb | inviluppo_kx3.ggb

suggerimenti per esplorare, dopo aver lanciato i programmi

  1. Per iniziare, avviare l'animazione: clic angolo in basso-sx.
  2. l'animazione e' "oscillating", ma dopo il 1° tracciamento non si vede accadere piu' nulla.
    2 possibilita'
    1. Ctrl-F pulisce le tracce
    2. Evidenziare la retta rispetto alla sua traccia:
      clic sulla sua definizione nel pannello "Algebra".

    Per vedere la progressione alla rapidita' desiderata, muovere a mano lo slider: trascinarlo, o tastiera freccia-sx freccia-dx. Se le frecce non hanno effetto, selezionare prima lo slider cliccandolo.
    Poi conviene riaccendere l'animazione.

  3. "accendere" la linea di inviluppo.
  4. "accendere" il punto di tangenza PTG.
    Poi Ctrl-F pulisce e permette di vedere in un altro modo.

 

Oss: nel caso di y=kx² ho notato che:

Teo: la retta tangente in x, intereseca l'asse x in x/2

dim: retta tangente y= k2x0*(x-x0)+kx0²

l'intersezione con y=0 produce eq

0= k2x0*(x-x0)+kx0²

2(x-x0)+x0 = 0

2x-x0 = 0

2x = x0

 

 

Pensiero affinche' una famiglia di rette crei un inviluppo

basta che

la formula piu' semplice e'

y=prm(x-prm).  inviluppo_y_p(x-p).ggb

Qual e' il suo inviluppo?

 

Links

Funzione sezione, applicazione parziali.

 

Approfond

rem: Formule della parabola.

Costruire una famiglia di rette il cui inviluppo e' una parabola.

Idea: iniziare fissando una parabola, e poi costruire la famiglia ordinata di rette tangenti al correre del punto di tangenza sulla parabola.