^^Topologia.

Cos'e' la topologia?

Spaziologia del

1. dis/connesso, attaccato/staccato, uno/piu' pezzi
2. dis/continuo
3. unione/separazione
4. prossimita' infinita, limite
5. sezionare, stirare
6. incluso / chiuso / aperto

7. Prossimita' senza metrica, cioe' topologia, e' sempre piu' rilevante nelle applicazioni (2016)

   es: analisi dei dati, reti, biologia,

   in cui una metrica naturale e' introvabile o non esistente.

   es: arxiv/Cliques and Cavities in the Human Connectome | Cervello.

Topology  aka  “rubber-sheet geometry”

Point-set topology

Topologia organizzata in modo ipotetico-deduttivo, riducendo al minimo il sistema primitivo

prossimita' ≡ vicinanza   infinita

e' l'idea primitiva fondamentale, a cui sono riportati tutti i temi studiati dalla topologia.

La prossimita' e' codificata in termini puramente insiemistici, senza usare una metrica.

Non solo point-set topology: homotopy ! homotopy

>>>Esempi.

Applicazioni della topologia

1. TDA topological data analysis

GEOMETRIA E TOPÓLOGIA

Yerso il 1850, i matematici erano giunti ad accettare l'idea della possibilità'di varie specie di geometrie. In linea generale, una qualsiasi geometria tratta un insieme di idee che derivano dalla esperienza quotidiana attraverso vari processi di astrazione e di generalizzazione. Cosï, per esempio:

1. la geometria proiettiva fa intervenire la nozione di rettilineità, ma non quelle di angolo o di distanza;
2. la geometrie euclidea e riemaimiana si occupano di relazioni metriche
3. nella geometria conforme si misurano gli angoli ma non Ie distanze.

Tutte queste geometrie presuppongono la nozione di continuité, che è argomento di spettanza della topólogia.
In topólogia non si attribuisce nessun significato intrinseco alla distanza, all'angolo o all'allineamento.

Per esempio:

• la superficie di una sfera è topologicamente equivalente a quella di un cubo, in quanto è pressochè ovvio corne i punti della superficie di una sfera possano mettersi in corrispondenza biunivoca continua con quelli della superficie di un cubo, ad es. per proiezione da un centro opportuno.
• ma la superficie di una sfera o di un cubo non è topologicamente equivalente a quella di un toro, poichè
  • su di una sfera ogni curva chiusa non intrecciata divide la superficie in due porzioni, una « interna » e un'altra « esterna »,
  • mentre invece ciö non accade per la superficie di un toro, sulla quale trovansi curve « non delimitanti » un'area.

ref: bdim: Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Riviste Bollettino dell'Unione Matematica Italiana

Serie 3, Vol. 5 (1950)  n. 2 (pp.101-212)

Whitehead, J. H. C.:  Teoria della dimensione, p. 156-164 (Italian) pdf (878 Kb)

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Topologia organizzata in modo ipotetico-deduttivo, riducendo al minimo il sistema primitivo

tutti i temi studiati dalla topologia sono riportati all'idea fondamentale di

prossimita' ≡ vicinanza   infinita