"multilineare" si applica a piu' strutture: spazi vettoriali, gruppi, ...
G H K gruppi
f(g,h) is a homomorphism in h for each fixed g and in g for each fixed h.
X Y Z spvt sullo stesso campo
multilineare M: X1×X2×...×Xn→Y è lineare in ogni argomento
Lineare in un argomento := e' lineare in una variabile, fissate costanti tutte le altre, e per ogni scelta dei valori costanti.
w1 = (u1,v1) w2 = (u2,v2) w1+w2 = (u1+u2,v1+v2)
B(u1+u2,v1+v2) = B(u1,v1) + B(u1,v2) + B(u2,v1) + B(u2,v2)
per essere lineare dovrebbe essere B(u1,v2) + B(u2,v1) = 0.
Lìapplicazione bilineare puo' essere guardata come un prodotto, ed unsare la notazione usuale per i numeri
λuv := (λu)v = λ(uv) = u(λv)
Non e' pero' in generale un prodotto associativo o commutativo.
B(u,v) = B(v,u) | ∀ u,v∈V | symmetric bilinear application |
App lineari e multilineari sono legate tra loro.
Possiamo prendere spunto dallo studio delle app lineari.
Teo: Le app lin sono determinate dai valori assunti sui vettori di una base del dominio.
D: Esiste un analogo mlin?
Teo: app mlin e' determinata dai valori che assume
same answer for groups and vector spaces.
M: X1×X2×...×Xn→Y
M(a1u1, a2u2, ..., anun) = a1a2...anM(u1, u2, ..., un)
f:VxW-->X bilinear map
f(∑aivi , ∑biwi) = ∑ij aibjf(vi,wj)
se vi e wj vettori base di V e W, allora i valori f(vi,wj) permettono di calcolare tutti i valori della funzione.
I valori di app mlin sono calcolabili dai valori che assume sui vettori prodotto cartesiano dei vt di base di ognuno degli spazi fattore del dominio.
es:
Sorge quindi il problema:
V, W and X be finite-dimensional vector spaces,
f:VxW-->X be a bilinear map
{(vi,wi):i=1,2,...,n} be a collection of pairs of vectors in VxW.
e' il caso piu' semplice dopo quello piu' semplice.
In mathematics, multilinear algebra extends the methods of linear algebra. Just as linear algebra is built on the concept of a vector and develops the theory of vector spaces, multilinear algebra builds on the concepts of p-vectors and multivectors with Grassmann (=exterior) algebra.
Algebra multilineare
applicazione bilineare in uno spazio vettoriale
B:V×V→V è lineare in ogni argomento
(u+v)w = uw + vw e (λu)v = λ(uv) ≡ λuv
u(v+w) = uv + uw e u(λv) = λ(uv)