^^Autovettore, autovalore, autospazi (vettoriali).

Obiettivo

ricercare caratteristiche degli operatori, definibili senza riferirle ad una base.

Caso rotazioni in 3D

l'asse di rotazione e' fatto dai vettori che rimangono fermi nella rotazione.

Teo: se f(v) = v  cioe' img del vettore e' il vettore stesso,
cioe' il vt rimane fermo nella trasformazione,

se f omogenea, allora f(kv) = kv  per tutti i vt della retta Kv !

Quindi e' un candidato alla rotazione

Caso omotetia dilatazione isotropa

tutti i vettori sono moltiplicati per lo stesso valore.

Caso dilatazione diversa secondo i vettori di una base

nello spazio in cui viviamo la dilatazione anisotropa di un solido cristallino.

autovalore e autovettore di un operatore lineare su uno spazio vettoriale

uno scalare e un vt≠0 per cui

f(v) = av  cioe' l'img del vt e' esso stesso moltiplicato per l'autovalore.

Teo: autovalore 0 implica che img vt≠0 e' 0, quindi l'operatore non e' iniettivo.
0 e' l'autovalore dei vettori del nucleo di un operatore non iniettivo.

Teo: tutti i vt della retta Kv di un autovettore v hanno lo stesso autovalore.

dim:  A(kv) = kAv = k(av) = a(kv).

Teo:  gli autovettori di un autovalore sono un spazio vettoriale.

dim;  se Au=au e Av=av   cioe'  u e v hanno lo stesso autovalore a

A(u+v)=Au+Av = au+av = a(u+v)  anche u+v ha autovalore a

Teo: gli autospazi sono "disgiunti" hanno intersezione vtzero.

Teo: le proiezioni hanno autovalori 1 e 0:
1 lo spazio proiezione, 0 il nucleo che e' cospazio.