^^Funzionale lineare, forma lineare. Spazio duale di uno spvt.

funzionale lineare (di uno spazio vettoriale)

f:V→K  applicazione lineare dallo spazio vettoriale al campo;

"lineare" nel senso: "lineare tra spvt", K inteso come spvt su K

f(x+y) = f(x)+f(y)

   f(kx) = kf(x)

Es funzionali lineari

  1. La funzione costante a 0 e' un funzionale lineare;

    ogni altro funzionale lineare e' suriettivo, cioe' il suo range e' tutto K.

  2. Le funzioni sezione di un forma bilineare sono funzionali lineari.

V* spvt duale di uno spvt

V* ≡ FunLin(V→K)  spazio funzionale dei funzionali lineari sullo spvt V.

I suoi elementi vengoono di solito indicati f* invece di f.

Funzionale lineare che da' una coordinata

fissata una base, ogni vt  x= ∑ xjej

e*J: x→xj  V→K   funzionale lineare associa ad ogni vt una sua fissata coord.

dim: e' lineare.

nm: diamo a questi funzionali che danno una coord, la stessa lettera dei vt della base, con un modificatore *, che puo' confondere con la moltiplicaz, ma e' usanza.

In tutto i funzionali sono tanti quanti i vt di base.

Ogni vt si puo' riscrivere   x=  ∑j e*j(x)ej

detto semplicemente: un vettore si puo' scrivere come cl di una base, i cui coeff sono forniti dai funzionali associati alla base.

NotaBene: e*1 depends on the entire basis {ej} and not only on e1, as itmight appear from
the notation e*1 . In other words, e*1 is not a result of some “star” operation applied only to e1. The covector e*1 will change if we change e2 or any other basis vector. This is so because the component v1 of a fixed vector v depends not only on e1 but also on every other basis vector ej .

Calc img di una fun lin f:V→W coi funzionali

si tratta di rifare quanto gia' fatto con le cl della base

rem:  x = ∑ xjej   f(x) = f(∑ xjej ) = ∑ xjf(ej)

novita': scrivere i coeff cl come valori dei funzionali

x = ∑ e*j(x)ej      f(x) = f(∑ e*j(x)ej ) = ∑ e*j(x)f(ej) 

Calc img funzionale generico f*:V→K coi funzionali base

f*(x) = f*(∑ e*j(x)ej ) = ∑ e*j(x)f*(ej) 

   f*                           =  ∑ e*jf*(ej) 

Per chiarezza f*(ej) ≡ Φj , sono scalari e non dipendono dal vt che rappresentano, cioe' sono costanti al variare di x; riscriviamo

f*(x)  = ∑ Φje*j(x)    ∀x∈V   uguaglianza di tutti i valori di 2 funzioni

     f* =  ∑ Φje*j        e' uguaglianza tra le funzioni

quindi tutti i covettori sono cl dei funzionali e*j

Corollario: i funzionali base sono un sistema di generatori di tutti i funzionali.

 

rem: δij   delta di Kronecker   δii = 1, e 0 negli altri casi:  δij = 0  se i≠j.

cl base dante i vt base. I valori dei funzionali per dare i vt base

ei = ∑ δijej     ei = ∑j e*j(ei )ej    ⇒   e*j(ei ) = δij

Teo:   e*i(ej ) = δij      

Teo: i funzionali associati alla base sono una base per lo spvt duale.

 

 

 

 

 

 

 

Teo: la codimensione del nucleo di un funzionale lineare e' 1, f0 a parte.

Teo:  F(V→K) spvt dei funzionali lineari e' isomorfo a V

in particolare hanno la stessa dimensione.

dim:

1) F(V→K) e' spvt. Caso particolare di Spazio vettoriale delle funzioni lineari tra 2 spazi vettoriali.