^^Spazio vettoriale Kv, retta di un vettore.

Kv := {kv∈V: k∈K }  tutti i multipli di un fissato vt, "retta di un vt"

Teo: Kv e' spvt

dim: tesi: av+bv ∈Kv  e  a(bv) ∈Kv

av+bv = (a+b)v   (a+b)∈K.   a(bv) = (ab)v  (ab)∈K

Teo:  v∈Kv   dim: 1v=v

Dirlo

1. i multipli di un vt
2. tutti i multipli di un vt
3. l'insieme dei multipli di un vt

Kv si puo' anche vedere come il range della funzione seguente

k→kv   f_v:K→Kv  moltiplicaz di ogni scalare per un fissato vt

OOcchi: ognuno dei kv puo' anche essere pensato come ottenuto dall'omotetia v→kv, non scordiamolo.

1. e' una funzione lineare.
   In particolare 
   1. 0v = 0  proprieta' fun lin tra gruppi: elemento neutro va nell'elemento neutro.
      Qui: zero del campo  va nel vt0 se moltiplicato per v; siccome v e' qualsiasi, la regola vale per tutti i vt.
      0v = 0  ∀v∈V  annullamento del prodotto
   2. (-a)v = -(av)  l'inverso va nell'inverso.
      (-1)v = -(1v) = -(v) ≡ -v
2. e' un isomorfismo dello spazio vettoriale K col range Kv
3. v∈Ku ⇒ Kv=Ku

dim1: (a+b)v =  av + bv, Notazione f_v:  f_v(a+b) = f_v(a) + f_v(b)

(ma)v = m(av). Notazione f_v:  f_v(ma) = mf_v(a)

dim2: tesi v∈Ku ⇒ Kv=Ku

v∈Ku ⇒ v=ku 

av = a(ku) = (ak)u ∈Ku

Regola dei segni -(av) = (-a)v = a(-v) ≡  -av

1. (-a)v = -(av)
2. (-a)v = a(-v)

dim1: punto 1.2 della dim qui sopra della linearita' di k→kv

(-a)v = (a(-1))v = a((-1)v) = a(-v)

dim1:

(k+h)u = ku+hu   additiva

(mk)u = m(ku)     omogenea

Teo: K e Kv sono spvt isomorfi (v≠0)
       K→Kv  a→av  isomorfismo

dim: 2&3&4 

tesi: (a+b)  ↔  av + bv