^^Teo: prodotto cartesiano di spvt e' spvt (tutti sullo stesso campo).

Teo: prodotto cartesiano di spvt e' spvt (tutti sullo stesso campo)

∏V_i i∈I ha: somma di vt, e prodotto esterno, definiti punto-punto da

• (x_i) + (y_i) = (x_i+y_i)  somma vt
• k(x_i) = (kx_i)             prodotto esterno

dim:

1) ∏V_i  e' gruppo commutativo poiche' prodotto indiciato di gruppi commutativi

2) il campo di ∏V_i  e' il campo comune a tutti i V_i 

3) il prodotto esterno e'  Kx∏V_i → ∏V_i    k(x_i) → (kx_i)

ref: Prodotto cartesiano di strutture algebriche.

Caso con notazione semplice: prodotto cartesiano di 3 spvt.

I vettori usati sono 2, indicati con le lettere x y

ogni vettore ha 3 componenti, indicate coi pedici numerici 1 2 3.

Ho evitato il prodotto cartesiano piu' semplice, quello di 2 spvt proprio per aiutare a non confondere il nr di vt col nr di fattori componenti ogni vt.

Con la notazione semplice la logica risulta chiara, non offuscata dall'eccesso di simboli,  e sara' la stessa anche con la notazione difficoltosa per il caso generale.

dim Proprieta' prodotto esterno

ricordiamo la def delle op per gli elementi del prod cart V₁xV₂xV₃

• somma di 2 vettori, fa vt
  (x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃) = (x₁+y₁, x₂+y₂, x₃+y₃)
• prodotto s*v scalare per vt, fa vt
  k(x₁, x₂, x₃) = (kx₁, kx₂, kx₃)

1) proprieta'1:  k(x+y) = kx + ky    distributiva sui vt.

Nel caso qui   :   x ≡ (x₁, x₂, x₃)    y ≡ (y₁, y₂, y₃)

la proprieta' da dimostrare si scrive:   

k((x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃)) = k(x₁, x₂, x₃) + k(y₁, y₂, y₃)

0  k((x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃)) 

1  k(x₁+y₁, x₂+y₂, x₃+y₃)     

2  (k(x₁+y₁), k(x₂+y₂), k(x₃+y₃))       

3  (kx₁+ky₁, kx₂+ky₂, kx₃+ky₃)        

4  (kx₁, kx₂, kx₃) + (ky₁, ky₂, ky₃)    

5  k(x₁, x₂, x₃) + k(y₁, y₂, y₃)   

cmt
0  start: scalare k * somma 2 vt chiusi in parentesi

1  def somma dello spazio prodotto ∏V_i , 2 vt in 1

2  def prodotto esterno dello spazio prodotto ∏V_i

3  proprieta' prodotto esterno degli spvt fattore V_i

4  def somma dello spazio prodotto ∏V_i , 1 vt in 2

5  def prodotto esterno dello spazio prodotto ∏V_i

2)  (k+h)(x_i) = ((k+h)x_i) = (kx_i + hx_i) = (kx_i) + (hx_i)

3)  [kh](x_i) = ([kh]x_i) = (k[hx_i]) = k(hx_i) = k[h(x_i)]

4)  1(x_i) = (1x_i) = (x_i)

Corollario: La potenza cartesiana Vⁿ di uno spazio vettoriale V e' uno spazio vettoriale.

Approfond dim proprieta' 1 nel caso di tupla infinita

Notazione  x ≡ (x₁, x₂, ...)

dim Proprieta' prodotto esterno

ricordiamo la def delle op per gli elementi del prod cart ∏V_i 

• somma di 2 vettori, fa vt
  (x₁, x₂, ...) + (y₁, y₂, ...) = (x₁+y₁, x₂+y₂, ...)
• prodotto s*v scalare per vt, fa vt
  k(x₁, x₂, ...) = (kx₁, kx₂, ...)

1) proprieta'1:  k(x+y) = kx + ky    distributiva sui vt.

Nel caso qui   :   x ≡ (x₁, x₂, ...)   y ≡ (y₁, y₂, ...)

la proprieta' si scrive:   

k((x₁, x₂, ...) + (y₁, y₂, ...)) = k(x₁, x₂, ...) + k(y₁, y₂, ...)

0  k((x₁, x₂, ...) + (y₁, y₂, ...)) 

1  k(x₁+y₁, x₂+y₂, ...)     

2  (k(x₁+y₁), k(x₂+y₂), ...)       

3  (kx₁+ky₁, kx₂+ky₂, ...)        

4  (kx₁, kx₂, ...) + (ky₁, ky₂, ...)    

5  k(x₁, x₂, ...) + k(y₁, y₂, ...)   

cmt
0  start: scalare k * somma 2 vt chiusi in parentesi

1  def somma dello spazio prodotto ∏V_i , 2 vt in 1

2  def prodotto esterno dello spazio prodotto ∏V_i

3  proprieta' prodotto esterno degli spvt fattore V_i

4  def somma dello spazio prodotto ∏V_i , 1 vt in 2

5  def prodotto esterno dello spazio prodotto ∏V_i

Notazione x ≡ (x_i)

dim Proprieta' 1 prodotto esterno

() parentesi tonde per la tupla

[] parentesi quadre per racchiudere operando

di solito solo le tonde se non c'e' confusione  es: k[(x_i)] ≡ k(x_i)=(kx_i) ,

ma  k(x_i + y_i)  e'  k[x_i + y_i]  oppure  k[(x_i + y_i)] ? sarebbe implicito nell'intenzione

1)  k[(x_i) + (y_i)]  start: scalare k * somma 2 vt chiusi in parentesi

=  k[(x_i + y_i)]      def somma dello spazio prodotto ∏V_i , 2 vt in 1

=  (k[x_i + y_i])      def prodotto esterno dello spazio prodotto ∏V_i 

=  (kx_i + ky_i)       proprieta' prodotto esterno degli spvt fattore V_i 

=  (kx_i) + (ky_i)    def somma dello spazio prodotto ∏V_i , 1 vt in 2

=  k(x_i) + k(y_i)    def prodotto esterno dello spazio prodotto ∏V_i

2)  (k+h)(x_i) = ((k+h)x_i) = (kx_i + hx_i) = (kx_i) + (hx_i)

3)  [kh](x_i) = ([kh]x_i) = (k[hx_i]) = k(hx_i) = k[h(x_i)]

4)  1(x_i) = (1x_i) = (x_i)

Prodotto cartesiano di 2 spvt.

I vettori sono 2, indicati con le lettere x y

ogni vettore ha 2 componenti, indicate coi pedici numerici 1 2

dim Proprieta' prodotto esterno

ricordiamo la def delle op per gli elementi del prod cart ∏V_i 

• somma di 2 vettori, fa vt
  (x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (x₁+y₁, x₂+y₂)
• prodotto s*v scalare per vt, fa vt
  k(x₁, x₂) = (kx₁, kx₂)

1) proprieta'1:  k(x+y) = kx + ky    distributiva sui vt.

Nel caso qui   :   x ≡ (x₁, x₂)   y ≡ (y₁, y₂)

la proprieta' si scrive:   

k((x₁, x₂) + (y₁, y₂)) = k(x₁, x₂) + k(y₁, y₂)

0  k((x₁, x₂) + (y₁, y₂)) 

1  k(x₁+y₁, x₂+y₂)     

2  (k(x₁+y₁), k(x₂+y₂))       

3  (kx₁+ky₁, kx₂+ky₂)        

4  (kx₁, kx₂) + (ky₁, ky₂)    

5  k(x₁, x₂) + k(y₁, y₂)   

cmt
0  start: scalare k * somma 2 vt chiusi in parentesi

1  def somma dello spazio prodotto ∏V_i , 2 vt in 1

2  def prodotto esterno dello spazio prodotto ∏V_i

3  proprieta' prodotto esterno degli spvt fattore V_i

4  def somma dello spazio prodotto ∏V_i , 1 vt in 2

5  def prodotto esterno dello spazio prodotto ∏V_i