A seguito della serie 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ,
| si e' considerata | : | la scomposizione di un segmento in un segmento |
| generalizzando | : | la scomposizione di una figura in figure |
| in particolare | : | di un cubo in 8 cubi (poiche' era un discorso fresco) |
| al che ho associato | : | il quadrato di 4 quadrati |
| generalizzato alle | : | figure autosimili |
| ed a quel punto, per paragone | : | ho riconosciuto come autosimile anche la suddivisione del segmento in 2. |
| Ho anche considerato | : | Rileggendo, il quadrato di 4 quadrati come 1 quadrato di area 1/4, e il resto 3/4. |
Cio' mi ha aiutato a sviluppare una visione completamente algebrica della somma infinita di potenze, staccata dalla sua genesi geometrica, come partizione dell'unita' ripetuta su una delle parti.
| 3/4 | = 1 - 1/4 | ||||||
| 3/4 + (3/4)(1/4) | = 1 - (1/4)2 | ||||||
| 3/4 + (3/4)(1/4) + (3/4)(1/4)2 | = 1 - (1/4)3 | ||||||
| 3/4 + (3/4)(1/4) + (3/4)(1/4)2 + (3/4)(1/4)3 | = 1 - (1/4)4 | ||||||
| 3/4 (1 + 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3) | = 1 - (1/4)4 | ||||||
| detto q = 1/4 | |||||||
| (1-q)(1 + q + q2 + q3) | = 1 - q4 | ||||||
| 1 + q + q2 + q3 |
|
||||||
| 1 + q + q2 + q3 n=3 |
|
| 3/4 + 1/4 | = 1 |
| 3/4 + (3/4)(1/4) + (1/4)(1/4) | = 1 |
| 3/4 + (3/4)(1/4) + (3/4)(1/4)2 + (1/4)(1/4)2 | = 1 |
| 3/4 + (3/4)(1/4) + (3/4)(1/4)2 + (3/4)(1/4)3 + (1/4)(1/4)3 | = 1 |
| 3/4 (1 + 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3) | = 1 - (1/4)4 |
Anche il cerchio e' uno spicchio!
Si puo' fissare un numero qualsivoglia di spicchi. Facciamo 3
(fine 2009, regalo di Natale) Ho dato risposta a 2 quesiti che mi hanno accompagnato per decenni.
| 1-q | 1-qn+1 | ||
| 1 + q + q2 + q3 + qn = | (1 + q + q2 + q3 + qn)= | ||
|
1-q |
1-q |
dato che si formano coppie di opposti q-q, q2-q2, ecc ... I soli addendi che non si elidono sono 1 e -qn+1.
https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression
https://janmr.com/blog/2008/10/nice-geometric-progression-proof/
http://www41.homepage.villanova.edu/robert.styer/Bouncingball/geometric_series.htm
Calcolo della somma della serie geometrica.