^^Area di un poligono, metodo dei trapezi.

Area di un poligono calcolato con le coordinate cartesiane dei vertici

inseriamo il poligono in un piano cartesiano; siano date le coordinate della successione di punti-vertice della poligonale perimetro del poligono; cio' si puo' fare con strutture dati diverse, qui per fissare le idee una tb.

Area con segno sottostante ognuno dei lati del poligono

area "sotto" un lato arriva fino all'asse x orizzontale, e forma un trapezio;

Area trapezio = ½(B1+B2)H, qui H e' orizzontale, B verticale

l'area sottesa a un lato e' intesa col segno!
½(x_i+1 - x_i)*(y_i + y_i+1)

il perimetro deve essere percorso in senso orario

lato discorde al verso x  ~  area negativa

lato concorde al verso x ~  area positiva

tradotto in coordinate: 

∆x incremento x del vertice, negativo  ~  area negativa

Area poligono = somma algebrica area dei singoli trapezi

Proprieta'

segno

• cambiando il verso di percorrenza il risultato cambia di segno
• area positiva ⇔ percorso orario

validita'

• vale per tutti i poligoni non intrecciati
• vale per i poligoni dovunque si trovino nel piano, es: con parti in quadranti diversi

Dirlo

l'area del poligono e' uguale alla somma algebrica dell'area dei trapezi, ognuno sottostante un lato del poligono.

Idea di calcolo:

• l'area sotto un segmento, cioe' tra il segmento e l'asse x, e' un trapezio retto
• la cui area si puo' calcolare dalle 2 basi e dall'altezza
  • basi dalle coordinate y
  • altezze dalle coordinate x

E' l'idea di calcolo condivisa da Area del poligono e Area sottesa ad un poligonale.

Esempi di poligoni per cui e' valido il metodo dei trapezi

poligonale chiusa, che e' bordo del poligono

Area poligono

il poligono a sx e' concavo; il poligono a dx ha punti di inversione del moto sul bordo poligonale oltre quelli dell'estremo sx e dx, che producono ulteriori sovrapposizioni dei trapezi.

Es d'uso

Bivettore, area; nel piano cartesiano; metodo dei trapezi.

La formula e' ottimizzabile

Area di un poligono, shoelace formula.

Links

1. Area di un poligono, shoelace formula.
2. Area di un poligono irregolare.

Approfond

Dis .odg|pdf

Somma area dei singoli trapezi (area con segno):

Cruriosita' tb vertici poligono

Non e' detto che sia una funzione y=f(x) poiche' ad uno stesso valore di x possono essere associati 2 diversi punti e quindi 2 valori diversi di y.

Talk

Versione1: Idea per il calcolo

e' un modo di guardare-pensare al poligono che e' conveniente.

Versione2: Idea per il calcolo

Versione

vale a condizione di poligonali non intrecciate.

Titolo

1. Area di un poligono, nel piano cartesiano.
   c: originale
2. Area di un poligono, metodo delle coordinate.
   Area di un poligono, metodo delle coordinate. Area sottesa ad una poligonale.
   c: 2-9-2019. Con la recente messa a pensione, ho avuto la possibiita' di leggere un po', e ho visto che i geometri del 1800 e 1900 preferivano dire "metodo delle coordinate" piuttosto che "geometria cartesiana". Per cui cambio questo titolo, che e' il 1° che cambio, e forse non altri, ma questo si, per segnare la comprensione del fatto.
3. Area di un poligono, metodo dei trapezi.
   c: 13-9-2019. Ho preferito enfatizzare i trapezi.

Versioni espo

area del poligono