^^Il prodotto esterno e' una funzione bilineare tra spvt.

linearita' f   tra spvt

f(x+y) = f(x) + f(y)     additiva

f(mx) = mf(x)             omogenea

consideriamo le funzioni sezione del prodotto esterno

Teo: prodotto esterno visto come fun bilineare tra spvt.

dim: si puo' intendere:

KxX come spvt prodotto cartesiano di 2 spvt, e

*:KxV→V  come funzione bilineare tra spazi vettoriali.

  notazione opbin infissa   notazione funzione  
1.   a(u+v) = au+av f(a,u+v) = f(a,u) + f(a,v) additiva dx
2. (a+b)v = av+bv f(a+b,v) = f(a,v) + f(b,v) additiva sz
3a.

3b.

 (ab)v = a(bv)

(ab)v = b(av)

 f(ab,v) = af(b,v)

f(a,bv) = bf(a,v)

 omogenea sx
omogenea dx
4. 1v=v  f(1,v) = v  

oss: b(av) si puo' intendere in 2 modi:

 

b(av) = f(b,av) = f(b,f(a,v))

b(av) = bf(a,v) = f(b,f(a,v))

 

a(bv)  = f(a,bv) = f(a,f(b,v))

a(bv)  = af(b,v) = f(a,f(b,v))

 

Teo: 3a e 3b si equivalgono dato che: il prodotto del campo e' commutativo.

(ab)v = a(bv)  tradotta  f(ab,v) = f(a,f(b,v))

 

 

Teo: fa:V→V  v→av e' una funzione lineare  >>>

Teo: fv:K→V  a→av e' una funzione lineare

dim additiva:

fv: a→av con occhio allenato si puo' vedere da qui

(a+b)v = av+bv    additiva

per convincersi

fv(a+b) ≡ (a+b)v = av+bv ≡ fv(a) + fv(b)

alter

(a+b)v  =  av + bv  interpretata come riga qui sotto

fv(a+b) = fv(a) + fv(b)

dim omogenea:

m fv(a) =  fv(ma)  tesi. Riscrivo i membri nella notazione opbin

m(av)  = (ma)v     vera!: proprieta' 4 prodotto esterno.

Teo: il prodotto esterno e' una funzione bilineare tra spvt.

In tal caso la proprietà3 si scriverebbe ,,,

m(av) = (ma)v   omogenea rispetto al 1° sp

m(av) = a(mv)   omogenea rispetto al 2° sp

 

 

Link

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pre: Applicazione bilineare, multilineare.