^^Espressioni in uno spazio vettoriale.

anticipiamo il risultato finale che segue dagli assiomi di spvt:

le manipolazioni algebriche dello spvt si svolgono trattando
la somma tra vt e il prodotto esterno come
la somma e il prodotto tra numeri reali.

Non si produce mai un prodotto tra vt, poiche' non e' definito.

Permanenza delle proprieta' formali di manipolazione dell'algebra elementare.

Regola dei segni (o degli opposti)
-av  e'  univoco
-av  ≡  -(av) = (-a)v = a(-v)  

abu  e' univoco

dim: cmq si rende operativo: (ab)u o a(bu) il risultato e' =.

Teo: dello zero. Annullamento del prodotto esterno
kx = 0  ⇔  k=0  o  x=0, o entrambi

Il prodotto esterno e' una funzione bilineare tra spvt.

Combinazione lineare.

dimostazioni

1. f_v: K→V omomorfismo del "gruppo scalari" nel "gruppo vt"

   ∀v∈V  ∃ f_v:a→av ∀a∈K   (a+b)v = av+bv 

2. f_a: V→V omomorfismo nel gruppo vt

   ∀a∈K  ∃ f_a:v→av ∀v∈V   a(u+v) = au+av 

in entrambi i casi:

• img dello zero e' lo zero
• img dell'opposto e' l'opposto.

1. 0v = 0   (-a)v = -(av)   ∀v∈V ∀a∈K.  Vedi anche Kv
2. a0 = 0   a(-v) = -(av)   ∀a∈K ∀v∈V,  Vedi anche Omotetia

Teo: dello zero. Annullamento del prodotto esterno

1. 0u = 0    moltiplicare per 0 scalare, da' vt0
2. k0 = 0    moltiplicare uno scalare per vt0, dà vt0
3. kx = 0    se  k=0  o  x=0, o entrambi
4. kx ≠ 0    se  k≠0  o  x≠0 cioe' moltiplicando vt≠0 con scalare ≠0 ottengo vt≠0.
5. kx = 0     ⇔  k=0  o  x=0  o  entrambi. dim: 3e4
   equi
   kx ≠ 0     ⇔  k≠0   e  x≠0

dim1:

u:K→V  k→ku   è additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero 0→0u=0.

In dettaglio

1. (a+0)u = au +0u  s*v distributiva su s

2. (a+0)u = au  proprieta' dello 0 del campo

3. au + 0u = au   transitiva uguaglianza

4. 0u = 0   proprieta' gruppo V dei vt

dim2:

a:V→V  x→ax  è additiva e quindi l'immagine dello zero e' uno zero 0→a0=0.

dim3a: ku=0  e k≠0  ⇒  u=0

ku=0   moltiplico entrambi i membri per k^-1 che esiste poiche' k≠0

k^-1(ku)=k^-10

(k^-1k)u=0   1u=0  u=0

dim3b: ku=0  e u≠0    ⇒  k=0

per il momento non so dimostrarlo.

2025-08-16  dim per assurdo

sia u≠0  k≠0   th:  ku=0

k^-1(ku) = k^-10      (k^-1k)u = 0   u=0.

Forse si puo' anche accettare questa logica:

sia k≠0   kx≠0 ⇒ x≠0 ?   NO, assumo cioe' che devo dimostrare.

Soluzione:

anche se sono nel contesto  a→av  KV  che mi induce dimostrarla iniettiva e non riesco, devo invece considerare av data da
l'omotetia v→av  a≠0 che e' iniettiva,
quindi se v≠0 ⇒  av≠a0=0  ,

cioe' a≠0 e v≠0 ⇒  av≠0

cioe' moltiplicando vt≠0 con scalare≠0 ottengo vt≠0.

Links

Anello algebrico.